高等代数
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  高等代数

        高等代数是代数学发展到高级阶段的总称,它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数,一般包括两部分:线性代数和多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充,引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量,比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点,不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

高等代数的基本内容

    多项式是一类最常见、最简单的函数,它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的,也叫做方程论。研究多项式理论,主要在于探讨代数方程的性质,从而寻找简易的解方程的方法。多项式代数所研究的内容,包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。
    讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 
    行列式的概念是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。行列式有一定的计算规则,利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式。 通过行列式的研究发现了矩阵理论。矩阵和行列式是两个完全不同的概念。利用矩阵这个工具,可以很容易确定线性方程组解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 
    代数学研究的对象,不仅是数,也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等,对于这些对象,都可以进行运算。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合,在数学中把这样的一些集合,叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。

高等代数与其他学科的关系

    代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科,数学的各个分支的发生和发展,基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢? 
   首先,代数运算是有限次的,而且缺乏连续性的概念,也就是说,代数学主要是关于离散性的。
   其次,代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外,就数学本身来说,代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念,大大地丰富了数学的许多分支,成为众多学科的共同基础。

 
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