网络学堂>>教学大纲
1


An Outline of Ordinary Differential Equations


. Character of the Text
  
Ordinary differential equations arise from many biology, chemistry, astronomy, 
physics,engineering technology and social sciences, which are characterized by 
temporal variable and exhibit temporal patterns. It is an important branch of
 calculus. This course is a basic one on mathematics and a major one of Mathematics 
and Applied Mathematics.

. Teaching Purpose:

By studying this text, students can know some basic knowledge on ordinary 
differential equations, solve some special ordinary differential equations and deal 
with some problems giving rise to real world.

. Teaching Contents:

Basic concepts, special types of differential equation of the first order, 
problems leading to differential equations, systems of differential equations 
linearization of first order systems,  linear differential equations of order 
greater than on n, existence and uniqueness theorems for a system of first order 
differential equations and for linear and nonlinear differential equations of 
order greater than one, stability theory of ordinary differential equations.

. Teaching Times

54 class times

. Teaching Ways

Teach and do exercise.

 

Teaching Contents

Lesson 1.

(1) How Differential Equations Originate. (half class hour) Know the origin of 
differential equations.

(2) The Differential Equations. (1.5 class hours) Know the definition of an 
ordinary differential equations, order and solution of a differential equation.

Lesson 2.

(1) The general solution of a differential equation. (1 class hour) Know the 
definition of general solution, particular solution and initial conditions on ordinary 
differential equations.

(2) Direction field. (1 class hour) Know the geometric significance of a solution
 of a first order differential equation.

Lesson 3.

Exact differential equations. (2 class hour). Know what an exact differential 
equation is. Learn method to solving exact differential equations.

Lesson 4.

Separable differential equations.  (2 class hour) Grasp how to solve separable 
differential equation.

Lesson 5.

The linear differential equation of the first order. (2 class hours).Learn the 
constant variant formula.

Lesson 6.

(1) First order differential equation with homogeneous coefficient. (1 class hour) 
Learn method to solving first order differential equation with homogeneous coefficient.

(2) Differential equations with linear coefficients. (1 class hour) Learn method 
to solving differential equations with linear coefficients.

Lesson 7.

Recognizable exact differential equations. Integrating factors. (2 class hours). 

Lesson 8.

Application of a first-order differential equations (2 class hours).

Lesson 9.

(1) Picard’s method of successive approximations. (1 class hour) Know what Picard’s
 method is.

(2) An existence and uniqueness theorem for the first order differential equation 
y’=f(x,y) satisfying y(x_0)=y_0. (Part 1)  (1 class hours) Learn to use Picard’s method. Understand existence and
 uniqueness theorem for the first order differential equation.

Lesson 10-Lesson11

(1)An existence and uniqueness theorem for the first order differential equation 
y’=f(x,y) satisfying y(x_0)=y_0. (Part 2)  (1 class hours) Understand existence and uniqueness theorem for the 
first order differential equation.

(2) Extension of the solutions(1 class hours).

Lesson 12

Solving the implicit equation of the first order (2 class hours)

Lesson 13-14

(1) Singular solution of a first order differential equation. (2 class hour)

(2) Envelop.  (2 class hour) Know ordinary and singular points and envelop.

Lesson 15

High order differential equations. 

Geometric problem. (1 class hour) Know some geometric problems leading to 
differential equation.

(2) Trajectories. (1class hour)

Lesson 16

Differential equations in N-dimensional spaces (2 class hour).

Lesson 17

Solutions depend continuously on initial and parameters (2 class hour).

Lesson 18-19.

The theory of the linear differential equations. (4 class hour).

Determinants. Wronskians.

Lesson 20-21

Solution of the homogeneous linear differential equation of order n with constant 
coefficients. (4 class hours)

Learn how to solve linear differential equations.

 Lesson 22-23.

The theory of n-order linear differential equations. (2 class hour). Grasp method of solving the
 homogeneous linear differential equation of order n with constant coefficients.

Solution of the nonhomogeneous linear differential equation by the method of 
variation of parameters. (2 class hours) Grasp method of solving the nonhomogeneous 
linear differential equation of order n with constant coefficients.

Lesson 24.

Solution of the nonhomogeneous linear differential equation of order n with 
constant coefficients. (2 class hours)

Lesson 25

(1) Phase space and trajectory(1 class hours).

(2)Stability (1 class hours) Know the definitions of stability for ODEs. Learn stability 
theorem by eigenvalue.

Lesson 26

(1) Autonomous system and linearization . (1 class hours)Learn stability of autonomous system and linearization.

(2)The method of Lyapunov.(1 class hours)Know Lyapunov function. Learn Lyapunov’s direct method.

Lesson 27

Singular points, limit set. (2 class hours) Know limit points, limit set, invariant
 sets and attractor. Learn LaSalle stability theorem.

 

References:

1. O Plaat, Ordinary Differential Equations,Holden-Day Inc., San Francisco,1991.

2. Lucas,W F Modules in Applied MathematicsSpringer -Verlag, Newyork,1983.

3. Wolfgang Walter, Ordinary differential equations, Springer -Verlag, Newyork,1998.

4. 丁同仁、李承治,常微分方程教程,北京:高等教育出版社,1991.

5. 康世祥、黄家洲, 常微分方程, 成都:四川大学出版社,1995.

6. 康世祥、黄家洲,常微分方程习题解答,成都:四川大学出版社,1995.

7 . 叶彦谦,常微分方程讲义(第二版),北京:人民教育出版社,1982.

8. 马知恩、周义仓,常微分方程定性与稳定性分析,北京:科学出版社,2001.

9. Qiuyi Dai, Yuxia Fu, Nondegeneracy and uniqueness of positive solutions for 
Robin problem of second order ordinary differential equations and its applications,  
Journal of Differential Equations, 241: 32-61,2007.

10. Eugenio Massa, Bernhard Ruf, A global characterization of the Fučík spectrum 
for a system of ordinary differential equations, Journal of Differential Equations, 
234: 311-336, 2007.

11. M. Ashordia, Lyapunov stability of systems of lineargeneralized ordinary 
differential equations, Computers & Mathematics with Applications, 50: 957-982, 2005.

12. Shy-Der Lin, ShihTong Tu, H. M. Srivastava, Certain classes of ordinary and 
partial differential equations solvable by means of fractional calculus, Applied 
Mathematics and Computation, 131: 223-233, 2002.

13. C. L. Y. Wang, Computer implementation of a series solution for constant 
coefficient ordinary differential equations, Computers & Mathematics with Applications,
 31: 43-60, 1996.

14. XianFang Li, Approximate solution of linear ordinary differential equations 
with variable coefficients, Mathematics and Computers in Simulation, 75: 113-125, 2007.

15. H. B. Thompson, C. Tisdell, Boundary value problems for systems of difference 
equations associated with systems of second-order ordinary differential equations, 
Applied Mathematics Letters, 15: 761-766, 2002.

16. J. Ángel Cid, Seppo Heikkilä, Rodrigo López Pouso, Uniqueness and existence 
results for ordinary differential equations, Journal of Mathematical Analysis and 
Applications, 316: 178-188, 2006.

17. Ken-ichi Kamo, Hiroyuki Usami, Asymptotic forms of positive solutions of 
quasilinear ordinary differential equations with singular nonlinearities,
 Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 68: 1627-1639, 2008.

18. J. I. Ramos, Linearization techniques for singular initial-value problems 
of ordinary differential equations, Applied Mathematics and Computation, 161: 
525-542, 2005.

19. Mark Goldmann, Vectorisation of the multiple shooting method for the nonlinear 
boundary value problem in ordinary differential equations, Parallel Computing, 7:
 97-110, 1988.

20. V. I. Galiev, A. F. Polupanov, I. E. Shparlinski, On the construction of 
solutions of systems of linear ordinary differential equations in the neighbourhood of 
a regular singularity, Journal of Computational and Applied Mathematics, 39: 
151-163, 1992.

21. Stig Faltinsen, Arne Marthinsen, Hans Z. Munthe-Kaas, Multistep methods 
integrating ordinary differential equations on manifolds, Applied Numerical 
Mathematics, 39: 349-365, 2001.

22. N. S. Nedialkov, K. R. Jackson, G. F. Corliss, Validated solutions of 
initial value problems for ordinary differential equations, Applied Mathematics 
and Computation, 105: 21-68, 1999.

23. Daniel Franco, Juan J. Nieto, Donal ORegan, Existence of solutions for first 
order ordinary differential equations with nonlinear boundary conditions, Applied 
Mathematics and Computation, 15: 793-802, 2004.

24. M. M. Hosseini, Numerical solution of ordinary differential equations with 
impulse solution, Applied Mathematics and Computation, 163: 373-381, 2005.

25. T. Benouaz, O. Arino,  Least square approximation of a nonlinear ordinary 
differential equation, Computers & Mathematics with Applications, 31: 69-84, 1996.

26. Weiming Wang, Zhenqing Li,  A mechanical algorithm for solving ordinary 
differential equation, Applied Mathematics and Computation, 172: 568-583, 2006.

27. J. Biazar, H. Ghazvini, He’s variational iteration method for solving linear 
and non-linear systems of ordinary differential equations, Applied Mathematics 
and Computation, 191: 287-297, 2007.

28. Markus Rosenkranz, Georg Regensburger, Solving and factoring boundary problems 
for linear ordinary differential equations in differential algebras, Journal of Symbolic
 Computation, 43: 515-544, 2008.

29. Brian A. Coomes, Hüseyin Koçak, Kenneth J. Palmer, Shadowing orbits of ordinary
 differential equations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 52: 35
-43, 1994.

30. C. Wafo Soh, F. M. Mahomed, Linearization criteria for a system of second-
order ordinary differential equations, International Journal of Non-Linear Mechanics, 
36: 671-677, 2001.

31. Mats Ehrnström, Prescribed asymptotic behaviour of solutions to semilinear 
ordinary differential equations,  Applied Mathematics Letters,  20: 800-805, 2007.

32. Bacha Inès, Local simplification of first-order systems of ordinary 
differential equations of dimension two, Mathematics and Computers in Simulation, 
60: 19-44, 2002.

33. D. W. Zingg, T. T. Chisholm, Runge–Kutta methods for linear ordinary 
differential equations, Applied Numerical Mathematics,  31: 227-238, 1999.

返回顶端